Comment trouver le centre d'un cercle ?
Le centre d'un cercle est toujours à l'intérieur et la distance constante entre le centre d'un cercle et n'importe quel emplacement sur le cercle est appelée rayon du cercle. D'autre part, le diamètre d'un cercle est le segment de droite joignant deux points d'un cercle et passant par le centre du cercle.
Avec la connaissance du centre du cercle suivi de sa formule, apprenons maintenant comment trouver le centre d'un cercle. Deux cas peuvent se présenter lorsqu'il vous est demandé de localiser le centre d'un cercle :
- Tout d'abord lorsqu'un cercle est fourni et qu'on nous demande de trouver son centre.
- Deuxièmement, lorsque l'équation d'un cercle est donnée et que nous devons ensuite localiser les coordonnées de son centre.
Vérifions les deux méthodes :
Lorsqu'un cercle nous est donné et qu'on demande au centre :
Voici la méthode à suivre dans de telles conditions :
Utilisation d'accords :
Avant de commencer, laissez-nous savoir qu'est-ce qu'un accord d'un cercle?
Un segment de droite qui relie deux emplacements sur la circonférence du cercle est appelé leAccord d'un cercle. Considérez le diagramme ci-dessous où "O" est le centre et AB et CD représentent tous deux la corde du cercle. Ici OE désigne le rayon du cercle. AB est à la fois le diamètre et la corde dans le diagramme. Les cordes égales d'un cercle sont équidistantes du centre.
Lorsqu'un cercle est donné et que nous devons découvrir son point central, nous pouvons suivre les étapes ci-dessous :
Étape 1:Esquissez une corde MN dans un cercle comme indiqué ci-dessous.
Étape 2:Dessinez maintenant une autre corde XY parallèle à MN de manière à ce qu'elle soit de la même longueur que MN.
Étape 3:Unissez les points M et Y par un segment de droite à l'aide d'une règle.
Étape 4:Ensuite, connectez les points N et X.
Étape 5 :Le point d'intersection de MY et NX donne le centre du cercle.
Utilisation de la sécante :
Étape 1:Tracez une ligne à travers le cercle de telle sorte qu'elle coupe la circonférence en deux endroits. En d'autres termes, dessinez une sécante.
Étape 2:Tracez ensuite une ligne perpendiculaire à la sécante, à mi-chemin sur sa hauteur, comme indiqué sur le schéma.
Étape 3:Répétez les étapes ci-dessus pour une autre sécante.
Étape 4:Le point où ces perpendiculaireslignesse rencontrent étant donné le centre d'un cercle donné.
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Utilisation de cercles superposés
Étape 1:À l'aide d'une règle, tracez une ligne droite à l'intérieur du cercle comme indiqué ci-dessous et marquez les deux points A et B.
Étape 2:Maintenant, à l'aide d'un compas, dessinez deux cercles qui se chevauchent comme indiqué ci-dessous.
Assurez-vous que les cercles sont de la même taille. Dessinez les deux cercles de manière à ce que A soit le centre d'un cercle et B le centre de l'autre.
Étape 3:Notez qu'il y aura un point en haut et un en bas du diagramme formé entre les cercles qui se chevauchent là où les cercles se croisent. Croquis d'unligne verticalepar les deux points où les cercles se coupent. Étiquetez ces points comme C et D respectivement.
Cette ligne dénote le diamètre du cercle initial.
Étape 4:Maintenant, effacez les deux cercles qui se chevauchent et nous obtiendrons un cercle traversé par deux lignes perpendiculaires.
Étape 5 :Tracez maintenant deux nouveaux cercles égaux avec un centre en C et un autre centre au point D. Ces cercles doivent se chevaucher comme un diagramme de Venn.
Étape 6 :Tracez ensuite une ligne passant par les points d'intersection de ces derniers cercles. Cette ligne est horizontale et traverse l'espace de chevauchement des deux cercles nouvellement dessinés.
La nouvelle ligne obtenue est le deuxième diamètre du cercle réel, et elle doit être exactement perpendiculaire à la première.
Étape 7 :Enfin le point de croisem*nt des deux lignes droites de diamètre est le centre précis du cercle que nous recherchions.
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Utilisation des tangentes
Une droite coplanaire qui touche le cercle en un point unique est appelée la tangente.
Étape 1:Marquez deux lignes droites tangentes qui se croisent sur le cercle comme indiqué sur le schéma.
Étape 2:De la même manière, tracez deux autres lignes tangentes de l'autre côté en suivant le modèle ci-dessus.
Ces quatre tangentes finiront par former un parallélogramme ou à peu près un rectangle.
Étape 3:Tracez ensuite les diagonales du parallélogramme obtenu.
Étape 4:Le point où ces lignes diagonales se croisent/se rencontrent est le centre du cercle donné.
En savoir plusDifférence entre cercle et sphère
Lorsque l'équation du cercle nous est donnée :
Dans le titre précédent, nous avons appris comment trouver le centre d'un cercle si le cercle est donné. Maintenant, familiarisons-nous avec la façon de trouver le centre du cercle lorsque l'équation est donnée.
Si on nous donne unÉquation d'un cerclecomme \(x^{2} + y^{2} – 6x – 4y – 108= 0\). Maintenant, pour trouver le centre, suivez les étapes ci-dessous :
Étape 1:Composez l'équation fournie dans la condition de l'équation générale d'un cercle–\((x−a)^2+(y−b)^2=r^2\), en ajoutant ou en soustrayant des chiffres ou des nombres des deux côtés.
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- Nous pouvons écrire l'équation donnée sous la forme \(x^{2} – 6x+ y^{2} – 4y=108\).
- Ajoutez maintenant 9 des deux côtés de l'équation pour obtenir un carré parfait de x-3.
- Par conséquent, nous aurons, \(x^{2} – 6x+9+ y^{2} – 4y=108+9\).
- Nous pouvons écrire l'équation ci-dessus sous la forme \((x – 3)^{2} + y^{2} – 4y=108+9\).
- Ajoutez maintenant 4 aux deux côtés pour obtenir un carré parfait de y-2.
- \((x – 3)^{2}+ y^{2} -4y+4=108+9+4\).
- Cela devient \((x – 3)^{2}+(y – 2)^{2} =121\).
- C'est-à-dire \((x – 3)^{2}+(y – 2)^{2} =11^{2}\).
L'équation ci-dessus ressemble à l'équation générale d'un cercle.
Étape 2:Comparez cette équation obtenue avec l'équation générale et déterminez les valeurs de a, b et r.
Si on compare \((x – 3)^{2}+(y – 2)^{2} =11^{2}\) avec\((x−a)^2+(y−b)^2 =r^2\), nous pouvons affirmer que a = 3, b = 2 et r = 11. De même, nous avons reçu les coordonnées du centre du cercle qui sont (a, b) = (3, 2) .
C'est ainsi que nous obtenons le centre d'un cercle à partir de l'équation.
En savoir plus sur leCirconférence d'un cercle.
Centre d'un cercle à l'aide de la formule du milieu
Si on nous donne les extrémités du diamètre d'un cercle, les coordonnées du centre peuvent être obtenues par la formule du milieu. Les étapes à suivre sont comme indiqué :
Étape 1:Supposons que les coordonnées du centre du cercle donné soient (a, b).
Étape 2:En appliquant la formule du milieu qui stipule que si (a, b) sont les coordonnées du milieu d'un segment avec des extrémités à \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\), alors .
\((a,b)=\left[\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right),\left(\frac{y_1+y_2}{2}\right)\right]\)
Étape 3:En simplifiant l'équation ci-dessus, nous obtenons les coordonnées du centre d'un cercle.
Prenons un exemple pour comprendre la même chose :
Ici, un cercle est donné dans lequel les extrémités d'un diamètre sont situées en (-4, 6) et (6, 14). Ensuite, trouvez les coordonnées de son centre :
En utilisant la formule du point médian :
\((a,b)=\left[\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right),\left(\frac{y_1+y_2}{2}\right)\right]\)
\((a,b)=\left(\frac{-4+6}{2},\frac{6+14}{2}\right)\)
\((a,b)=\left(\frac{2}{2},\frac{20}{2}\right)\)
(a, b) = (1, 10)
En conséquence, les coordonnées du centre d'un cercle avec les extrémités du diamètre sont (1, 10).
Découvrez cet article sur leRayon d'un cercle.
